Question

已知定义在上的偶函数和奇函数,且.

（1）求函数,的解析式；

（2）设函数,记（,）.探究是否存在正整数,使得对任意的,不等式恒成立？若存在,求出所有满足条件的正整数的值；若不存在,请说明理由.

参考结论：设均为常数,函数的图象关于点对称的充要条件是.

Answer

（1）,.（2）存在,.

【解析】

（1）用替换后,根据题中奇偶性,利用奇偶性性质得到方程组,即可解得答案。

（2）表达式中分子分母中的自变量格式统一,故可看作是平移后所得,找出其原函数,根据复合函数奇偶性判断得到的奇偶性,从而得到对称性,再反推得到的对称情况,利用对称的性质得到函数的表达式,再利用复合函数单调性判断方法得到最小值,借此得到的取值范围,再根据题目所给条件即可锁定的取值。

【解析】
（1）∵,

∴.

又为偶函数,为奇函数,

∴,

,

∴,.

（2）存在满足条件的正整数n.

由题意可知：为奇函数,其图象关于中心对称,

∴函数的图象关于点中心对称,

即对,.

∵,

∴.

两式相加,得

,

即.

∴.

由,

得,.

∵,

∴,

由此可得恒成立.

即对任意的恒成立.

令,,,则,

,,且,

则

∵,,∴.

则在上单调递增,

∴在上单调递增,

∴

∴.

又由已知,,

∴