Question

已知抛物线的焦点为，若过且倾斜角为的直线交于，两点，满足.

（1）求抛物线的方程；

（2）若为上动点，，在轴上，圆内切于，求面积的最小值.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）求出抛物线的焦点，设出直线的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得，进而得到抛物线方程；（2）设，，，不妨设，直线的方程为，由直线与圆相切的条件：，化简整理，结合韦达定理以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值.

（1）抛物线的焦点为，

则过点且斜率为1的直线方程为，

联立抛物线方程，

消去得：，

设，则，

由抛物线的定义可得，解得，

所以抛物线的方程为

（2）设，，，

不妨设，

化简得：，

圆心到直线的距离为1，

故，

即，不难发现，

上式又可化为，

同理有，

所以可以看做关于的一元二次方程的两个实数根，

，，

由条件：

，

当且仅当时取等号.

∴面积的最小值为8.