Question

已知四面体内接于球O，且，若四面体的体积为，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是_____．

Answer

【解析】

根据,可知△ 为直角三角形,其外接圆的圆心为AC的中点,连,可知平面,根据 为的中点可知 平面,所以 为四面体的高,根据四面体的体积可求得,在直角三角形 中由勾股定理可求得外接球的直径,从而可得球的半径,再由球的表面积公式可求得球的表面积.

如图:在三角形ABC中,因为,所以△ 为直角三角形,所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的中点,连,根据垂径定理,可得平面,因为 为的中点可知平面,所以 为四面体的高.

所以,解得.所以.

所以四面体的外接球的半径为2,表面积为=.