Question

如图，在三棱锥中，为正三角形，为棱的中点，，，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）若，求三棱锥的体积．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由三线合一的性质得出，再利用平面与平面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再由，结合直线与平面垂直的判定定理可得出平面；

（2）由（1）知平面，则三棱锥的高为，计算出的面积和，再利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积，即为三棱锥的体积.

（1）为等边三角形，且为的中点，.

平面平面，平面平面，平面，

平面，平面，.

又，，、平面，平面；

（2），且，，.

又是边长为的等边三角形，且为的中点，则，

且，的面积为.

因此，三棱锥的体积为.