Question

已知函数 (，是自然对数的底数).

  （1）设 (其中是的导数)，求的极小值；

  （2）若对，都有成立，求实数的取值范围．

Answer

(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，结合单调性可求得函数的极值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在(0，1)上单调递减，.讨论当时，当时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数的取值范围.

(Ⅰ)，.

令，∴，

∴在上为增函数，.

∵当时，；当时，，

∴的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为，

∴.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在(0，1)上单调递减，

∴.

当时，，在上单调递增，，满足条件；

当时，.

又∵，∴，使得，

此时，，；，，

∴在上单调递减，，都有，不符合题意.

综上所述，实数的取值范围为.