Question

设函数f（x）=alnx﹣bx²（x＞0）．

（1）若函数f（x）在x=1处于直线相切，求函数f（x）在上的最大值；

（2）当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[1，]，x∈[1，e²]都成立，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）（﹣∞，2﹣e2]．

【解析】

试题（1）对函数求导，利用函数在处与相切，可得关于方程，求出，再利用导函数判断函数在上的单调性，结合单调性求得函数最大值．（Ⅱ）用分离变量法，将原问题转化为，对所有的，构造函数利用一次函数单调性，求出最小值，再进一步利用函数单调性，求出最小值后可得的范围．

试题解析：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣2bx，

又函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，

∴，解得．

f（x）=lnx﹣x2，f′（x）=﹣x=﹣，

当x∈[，1），f′（x）＜0，f（x）递增，

当x∈（1，e]，f′（x）＞0，f（x）递减．

即有f（x）的最大值为f（1）=﹣；

（Ⅱ）当b=0时，f（x）=alnx，

若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[1，]，x∈[1，e2]都成立，

即m≤alnx﹣x对所有的a∈[1，]，x∈[1，e2]都成立，

令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，

∴m≤h（a）min．

∵x∈[1，e2]，∴lnx≥0，

∴h（a）在[1，]上单调递增，

∴h（a）min=h（1）=lnx﹣x，

∴m≤lnx﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立．

由y=lnx﹣x（1＜x≤e2）的导数为y′=﹣1＜0，

则函数y=lnx﹣x（1＜x≤e2）递减，

∵1＜x≤e2，∴lnx﹣x≥2﹣e2，

则m≤2﹣e2．

则实数m的取值范围为（﹣∞，2﹣e2]