Question

已知函数，

（1）讨论函数的单调性；

（2）函数有两个极值点，且，求证:.

Answer

（1）讨论见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）首先确定函数的定义域和导函数；令，当可确定，得到函数在定义域内单调递减；当时，分别在和两种情况下，根据导函数的正负得到函数的单调性；

（2）令，得到，可知是方程在上的两根，结合二次函数性质和韦达定理可确定，由此可将所证不等式转化为证明当时，；即证，令，通过导数可求得，进而证得结论.

（1）由得： 定义域为

令，则

①当，即时，则，即 在上单调递减

②当，即时，令，解得：，

⑴当时，

当和时，，即；当时，，即

在，上单调递减；

在上单调递增

⑵当时，

当时，，即；当时，，即

在上单调递增，在上单调递减

（2）令

则

有两个极值点 是方程在上的两根

对称轴为

又 ，又

要证，

即证：时，，，

令，则

当时， 在上单调递增

，故原不等式得证