Question

已知函数，其中，e为自然对数的底数.

（1）证明：函数在R上是增函数；

（2）若对任意，都有成立，求正整数m的最小值.

Answer

（1）证明见解析；（2）1

【解析】

（1）根据函数单调性定义证明；

（2）先将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，再根据函数单调性确定最值，代入化简解得结果.

证明：（1），任取、，使<，则：

< ∴

， ∴即

∴函数在上是增函数．

（2）由（1）知：函数在上单调递增

∴当时，，

∴任意、，

∴正整数的最小值为1．