Question

已知函数,其中a,．

(1)当,时,求函数的零点;

(2)当时,解关于x的不等式;

(3)如果函数的图象恒在直线的上方,证明:．

Answer

(1) 或;(2)当时,解集为,当时解集为,当时,解集为;(3)证明见解析.

【解析】

(1)将,代入函数得 ,,令,解方程即可求得函数的零点;

(2)将代入函数得 ,令解得或,分、、三种情况讨论的解集即可.

(3)根据函数的图象恒在直线的上方,得对任意的恒成立,即对任意的恒成立, 则函数图象与轴无交点,,即,又因为,所以,.

解: (1)因为函数,

当,时,

,则,解得或.

所以函数的零点为或;

(2)当时, ,

令解得或,

①当时, 的解集为

②当时, 的解集为,

③当时, 的解集为.

(3)如果函数的图象恒在直线的上方,

则对任意的恒成立,

即对任意的恒成立

,即

又因为,所以,.

所以函数的图象恒在直线的上方, 成立.