Question

如图，在三棱台中，底面是边长为的正三角形，，，是棱的中点，点在棱上，且．

（1）求证：平面；

（2）求直线和平面所成角的正弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）取BC上一点G，满足CG＝3GB，连接，FG，推导出四边形为平行四边形，从而EF，由此能证明EF平面.
（2）延长交于一点P，取AC的中点为O，连接PO，OB，则PO⊥AC，BO⊥AC，过O作OD⊥平面ABC，如图，以OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF和平面ABC所成角的正弦值.

【解析】
（1）取上一点，满足，连，，

在中，由

∴，

又，

∴，

∴四边形为平行四边形

∴

又平面，平面

∴平面.

（2）延长，，交于一点，且为边长为的正三角形，

取的中点为，连接，，则，，

且，，，，

过作平面，如图，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

∴

面的一个法向量为，

设与平面所成的角为，

∴，

∴直线和平面所成角的正弦值为.