Question

已知点在抛物线上，点是抛物线的焦点，线段的中点为.

(1)若点的坐标为，且是的垂心，求直线的方程；

(2)若点是直线上的动点，且，求的最小值.

Answer

(1)；(2)2.

【解析】

（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得的斜率，可得的斜率，设的方程，联立抛物线方程，运用判别式大于0和韦达定理，运用两直线垂直的条件，可得的方程，求得的值，即可得到所求直线方程；

（2）显然最小，必须垂直于直线，分别过，作，垂直直线，垂足为，，运用梯形的中位线定理，以及三点共线取得最小值，即可得到所求最小值．

(1)的焦点，准线方程为，

，为的垂心，可得，即有，

设的方程为，代入抛物线方程可得：

，可得，

由，可得，

，

化简可得，

即为，解得，

由，可得，

则的方程为；

(2)显然最小，必须垂直于直线，

分别过作垂直直线，垂足为，

，

等号成立当且仅当三点共线，且轴，

所以的最小值为2.