Question

已知函数恰有两个极值点.

(1)求实数的取值范围；

(2)求证：；

(3)求证： （其中为自然对数的底数）.

Answer

(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】

（1）求出函数的导数，得到，设，求出函数的导数，根据函数的单调性确定的范围即可；

（2）求出，问题转化为只要证明，设，，根据函数的单调性证明即可；

（3）求出，问题转化为只需证明，根据，设，根据函数的单调性证明即可．

(1)由题意得，故，

设，，

故时，时，，

故在递增，在递减，

又，

当时， ，

故实数的范围是；

(2)由(1)得，且，故，

要证明，只要证明，

只要证明，

设，

则，

故在递增，

故，

故成立；

(3)由(1)得，

且，故，

由(1)得，要证明，

只需证明，

只需证明，

故

，

设，

则，

故在递增，

结合，故，

，有，

故，

故.