Question

在平面直角坐标系xOy中，设点集，令.从集合M_n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.

（1）当n=1时，求X的概率分布；

（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.

Answer

（1）见解析；

（2）

【解析】

(1)由题意首先确定X可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；

(2)将原问题转化为对立事件的问题求解的值，据此分类讨论①.，②.，③.，④.四种情况确定满足的所有可能的取值，然后求解相应的概率值即可确定的值.

（1）当时，的所有可能取值是．

的概率分布为，

．

（2）设和是从中取出的两个点．

因为，所以仅需考虑的情况．

①若，则，不存在的取法；

②若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法；

③若，则，因为当时，，所以当且仅当，此时或，有2种取法；

④若，则，所以当且仅当，此时或，有2种取法．

综上，当时，的所有可能取值是和，且

．

因此，．