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已知椭圆的离心率为,M是椭圆C的上顶点,,F2是椭圆C的焦点,的周长是6. (Ⅰ...

已知椭圆的离心率为M是椭圆C的上顶点,,F2是椭圆C的焦点,的周长是6.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)过动点P(1,t)作直线交椭圆CAB两点,且|PA|=|PB|,过P作直线l,使l与直线AB垂直,证明:直线l恒过定点,并求此定点的坐标.

 

(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析. 【解析】 (Ⅰ)由题得到关于a,b,c的方程组,解方程组即得椭圆C的标准方程;(Ⅱ)当直线AB斜率存在,设AB的直线方程为,进一步求出直线的方程为, 所以直线恒过定点.当直线斜率不存在时,直线的方程为,此时直线为轴,也过.综上所述直线恒过点. 【解析】 (Ⅰ)由于是椭圆的上顶点,由题意得, 又椭圆离心率为,即, 解得,, 又, 所以椭圆的标准方程. (Ⅱ)当直线AB斜率存在,设AB的直线方程为, 联立,得 , 由题意,, 设, 则, 因为,所以是的中点. 即,得, ① 又,l的斜率为, 直线的方程为 ② 把①代入②可得: 所以直线恒过定点. 当直线斜率不存在时,直线的方程为, 此时直线为轴,也过. 综上所述直线恒过点.
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考点分析:
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