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已知函数,其中,为自然对数的底数. (1)当时,证明:对; (2)若函数在上存在...

已知函数,其中为自然对数的底数.

(1)当时,证明:对

(2)若函数上存在极值,求实数的取值范围。

 

(1)见证明;(2) 【解析】 (1)利用导数说明函数的单调性,进而求得函数的最小值,得到要证明的结论; (2)问题转化为导函数在区间上有解,法一:对a分类讨论,分别研究a的不同取值下,导函数的单调性及值域,从而得到结论.法二:构造函数,利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域,再利用零点存在定理说明函数存在极值. (1)当时,,于是,. 又因为,当时,且. 故当时,,即. 所以,函数为上的增函数,于是,. 因此,对,; (2) 方法一:由题意在上存在极值,则在上存在零点, ①当时,为上的增函数, 注意到,, 所以,存在唯一实数,使得成立. 于是,当时,,为上的减函数; 当时,,为上的增函数; 所以为函数的极小值点; ②当时,在上成立, 所以在上单调递增,所以在上没有极值; ③当时,在上成立, 所以在上单调递减,所以在上没有极值, 综上所述,使在上存在极值的的取值范围是. 方法二:由题意,函数在上存在极值,则在上存在零点. 即在上存在零点. 设,,则由单调性的性质可得为上的减函数. 即的值域为,所以,当实数时,在上存在零点. 下面证明,当时,函数在上存在极值. 事实上,当时,为上的增函数, 注意到,,所以,存在唯一实数, 使得成立.于是,当时,,为上的减函数; 当时,,为上的增函数; 即为函数的极小值点. 综上所述,当时,函数在上存在极值.
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