Question

如图所示的多面体中，四边形是边长为2的正方形，平面.

(1)设BD与AC的交点为O，求证:平面；

(2)求二面角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；(2) ．

【解析】

（1）根据题意，推导出面，，，结合线面垂直的判定定理证得面；

（2）以为原点，，，方向建立空间直角坐标系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后应用平方关系求得正弦值，得到结果.

(1) 证明：由题意可知：面，

从而，，又为中点，

，在中，，

，又，

面．

（2）面，且，

如图以为原点，，，方向建立空间直角坐标系，

从而，0，，，0，，，2，，，2，，，1，

由（1）可知，1，是面的一个法向量，

设，，为面的一个法向量，

由，令得，，，

设为二面角的平面角，

则，．

二面角的正弦值为．