Question

某个地区计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水的年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：十亿立方米）都在4以上，其中，不足8的年份有10年，不低于8且不超过12的年份有35年，超过12的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过12的概率；

（2）若水的年入流量与其蕴含的能量（单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：

年入流量	6	8	10	12	14
蕴含的能量	1.5	2.5	3.5	5	7.5

用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（回归方程系数用分数表示）

（3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：

年入流量
发电机最多可运行台数	1	2	3

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

附：回归方程系数公式：，.

Answer

（1）（2）（3）欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.

【解析】

（1）计算得到，，，再计算概率得到答案.

（2）利用回归方程公式直接计算得到答案.

（3）计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.

（1）依题意，，，

.

由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过12的概率为.

（2），，，，，，

所以关于的线性回归方程为.

（3）记水电站年总利润为（单位：万元）.

①安装1台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于4，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润，

.

②安装2台发电机的情形.

依题意，当时，一台发电机运行，此时，

因此；

当时，两台发电机运行，此时，

因此.由此得的分布列如下：

4200

10000

0.2

0.8

所以，.

③安装3台发电机的情形.

依题意，当时，一台发电机运行，此时，

因此；

当时，两台发电机运行，此时，

因此；

当时，三台发电机运行，此时，

因此.由此得的分布列如下：

3400

9200

15000

0.2

0.7

0.1

所以，.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.