Question

已知：函数y＝f (x)的定义域为R，且对于任意的a，b∈R，都有f (a＋b)＝f (a)＋f (b)，且当x＞0时，f (x)＜0恒成立．

证明：（1）函数y＝f (x)是R上的减函数．

（2）函数y＝f (x)是奇函数．

Answer

（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

试题（1）设x1＞x2，则x1－x2＞0，而f (a＋b)＝f (a)＋f (b)，

所以f (x1)＝f (x1－x2＋x2)＝f (x1－x2)＋f (x2)＜f (x2)，

即f (x1)＜f (x2)，所以函数在R上是减函数． ……6分

（2）由f (a＋b)＝f (a)＋f (b)得：f (x－x)＝f (x)＋f (－x)，即f (x)＋f (－x)＝f (0)，而f (0)＝0，

所以f (－x)＝－f (x)，即函数f (x)是奇函数． ……12分