Question

已知直线l：x+y-6=0，过直线上一点P作圆x²+y²=4的切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB面积的最小值为______，此时四边形PAOB外接圆的方程为______．

Answer

2 （x-）2+（y-）2=

【解析】

求出O到直线l的最短距离即可得出四边形的最小面积，求出此时P的坐标，得出OP的中点坐标，从而得出外接圆方程．

圆x2+y2=4的半径为2，圆心为（0，0），

由切线性质可知OA⊥AP，，

又△OAP的面积，

∴当OP取得最小值时，△OAP的面积取得最小值，

又OP的最小值为O到直线l的距离d=3．

∴四边形PAOB面积的最小值为：．

此时，四边形PAOB外接圆直径为d=3．

∵OP⊥直线l，

∴直线OP的方程为x-y=0．

联立方程组，解得P（3，3），

∴OP的中点为，

∴四边形PAOB外接圆的方程为（x-）2+（y-）2=．

故答案为，（x-）2+（y-）2=．