Question

椭圆的右焦点为，且短轴长为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点为椭圆与轴正半轴的交点，是否存在直线，使得交椭圆于两点，且恰是的垂心？若存在，求的方程；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根据短轴长和离心率可求，从而得到椭圆的标准方程；

（2）假设存在直线，则其斜率为，设的方程为，，由为垂心可得，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理可得关于的方程，解该方程后可得所求的直线方程.

（1）设椭圆的方程为，则由题意知，所以.

，解得，所以椭圆的方程为.

（2）由（1）知，的方程为，所以，

所以直线的斜率，假设存在直线，使得是的垂心，则.

设的斜率为，则，所以.

设的方程为,.

由，得，

由，得，

.

因为，所以，因为，

所以，

即，

整理得，

所以，

整理得，解得或，

当时，直线过点，不能构成三角形，舍去；

当时，满足，

所以存在直线，使得是的垂心，的方程为.