Question

如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，且，，求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由及矩形可证平面，从而得，再由等腰三角形得一个垂直后可得线面垂直；

（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系（其中是中点），写出点的坐标，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角余弦值得二面角余弦值．

（1）由题意，知，，又，平面

平面，又平面，，由，得：

， 平面，平面

（2）由，，， 得：

取的中点 ，连结，则，故，由（1）知：， ，

以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，于是，有：

， ， ， ， ，， ，

设平面的一个法向量为，则由得：

取得：，设平面的一个法向量为

则由得：，取得：，

二面角的余弦值为.