Question

在平面直角坐标系中，，，且满足.记点的轨迹为曲线.

（1）求的方程，并说明是什么曲线；

（2）若，是曲线上的动点，且直线过点，问在轴上是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1），是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆（不含左、右顶点）；（2）存在定点

【解析】

（1）设点的坐标为，说明，把这个等式用表示出来化简后即得；

（2）假设存在的定点符合题意，当直线的斜率存在时，设其方程为，，，由直线方程与椭圆方程联立消去得的一元二次方程，应用韦达定理得， ，得，代入化简后分析所得式子与无关时的值，同时验证斜率不存在时，定点也满足．

（1）由，得，设点的坐标为，则：

，化简得：，

曲线的方程为

是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆（不含左、右顶点）

（2）假设存在的定点符合题意

由题意知：直线的斜率分别为，

由题意及（1）知：直线与直线均不重合，当直线的斜率存在时

设其方程为，，

由，得直线的倾斜角互补，故

又

①

由消去，整理得：.

，又，②

代②入①得：③

当时，又不恒为0，当且仅当时，③式成立

当直线的斜率存在时，存在定点满足题意.

当直线的斜率不存在时，点满足，也符合题意.

综上所述，在 轴上存在定点，使得.