Question

已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间及极值；

(2)当时，求证：.

Answer

(1)的单调增区间为，单调减区间为；，没有极小值；(2)证明见解析.

【解析】

（1）求函数的导数，利用导数求函数的单调区间、极值即可（2）构造函数，利用导数，分类讨论求函数的最小值，转化为最小值不小于0即可，也可构造函数后变换主元为求其最大值也可证明.

(1)当时，，在上单调递减

由得：

当时，；当时，

函数的单调增区间为，单调减区间为.

，但没有极小值.

(2)证明：

证法一

令

①当时，，故

②当时，在上是增函数

由得：

当时，，在上单调递减

当时，，在上单调递增

由知：

，于是

，即

综上所述，当时，.

证法二

即，其中，

以为主元，设，，则

当时，.

由知对任意成立.

令，则在上单调递减

又

当时，；当时，

对任意，都有，即

综上所述，当时，.