Question

在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为.记点的轨迹为曲线.

(1)求的方程，并说明是什么曲线；

(2)若，是曲线上的动点，且直线过点，问在轴上是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

(1)，椭圆；(2)存在，.

【解析】

（1）写出斜率，根据斜率之积为建立方程，化简即可（2）假设存在的定点，分MN斜率存在或不存在两种情况讨论，设，，当MN斜率存在时，联立方程可求出，根据两角相等可得，化简即可求出m,验证MN斜率不存在时也成立即可.

(1)由题意得：

化简得：

曲线的方程为

是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆（不含左、右顶点）

(2)假设存在的定点符合题意

由题意知：直线的斜率分别为，

由题意及(1)知：直线与直线均不重合.

当直线的斜率存在时

设其方程为，，

由，得直线的倾斜角互补，故

又

①

由消去，整理得：.

又，②

代②入①得：③

当时，又不恒为０

当且仅当时，③式成立，即定点满足题意.

当直线的斜率不存在时，点满足，也符合题意.

综上所述，在 轴上存在定点，使得.