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已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)...

    已知函数f(x)=|xa|+|x-2|.

(1)a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;

(2)f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

 

(1) {x|x≥4或x≤1};(2) [-3,0]. 【解析】 试题(1)解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集即得所求.(2)原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1,2]上恒成立,由此求得求a的取值范围 试题解析:(1)当a=-3时,f(x)= 当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1; 当2<x<3时,f(x)≥3无解; 当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4. 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}. 6分 (2)f(x)≤|x-4||x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|(4-x)-(2-x)≥|x+a| -2-a≤x≤2-a, 由条件得-2-a≤1且2-a≥2,解得-3≤a≤0, 故满足条件的实数a的取值范围为[-3,0].
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选修44:坐标系与参数方程:在直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数,).在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线.

(1)时,求的交点的极坐标;

(2)直线与曲线交于两点,且两点对应的参数互为相反数,求的值.

 

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在平面直角坐标系中,已知点,动点满足直线的斜率之积为.记点的轨迹为曲线.

(1)求的方程,并说明是什么曲线;

(2)是曲线上的动点,且直线过点,问在轴上是否存在定点,使得?若存在,请求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.

 

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已知函数.

(1)当时,求函数的单调区间及极值;

(2)时,求证:.

 

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“绿水青山就是金山银山”,“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容,某班在一次研学旅行活动中,为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况,在这些树苗中随机抽取了120株测量高度(单位:),经统计,树苗的高度均在区间内,将其按分成6组,制成如图所示的频率分布直方图.据当地柏树苗生长规律,高度不低于的为优质树苗.

(1)求图中的值;

(2)已知所抽取的这120株树苗来自于两个试验区,部分数据如下列联表:

 

试验区

试验区

合计

优质树苗

 

20

 

非优质树苗

60

 

 

合计

 

 

 

 

将列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与两个试验区有关系,并说明理由;

(3)通过用分层抽样方法从试验区被选中的树苗中抽取5株,若从这5株树苗中随机抽取2株,求优质树苗和非优质树苗各有1株的概率.

附:参考公式与参考数据:

其中

0.010

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

 

 

 

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已知各项均为正数的数列的前项和满足.

(1)证明:数列是等差数列,并求其通项公式;

(2),求数列的前项和.

 

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