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已知函数,设为的导数, (1)求的值; (2)证明:对任意,等式都成立.

已知函数,设的导数,

1)求的值;

2)证明:对任意,等式都成立.

 

(1);(2)证明见解析. 【解析】 试题(1)本题首先考查复合函数的求导,如; (2)要找到式子的规律,当然主要是找式子的规律,为了达到此目标,我们让看看有什么特点,由(1),对这个式子两边求导可得,再求导,由引可归纳出,从上面过程还可看出应该用数学归纳法证明这个结论. 试题解析:(1)由已知, , 所以,, 故. (2)由(1)得, 两边求导可得, 类似可得, 下面我们用数学归纳法证明对一切都成立, (1)时命题已经成立, (2)假设时,命题成立,即, 对此式两边求导可得, 即,因此时命题也成立. 综合(1)(2)等式对一切都成立. 令,得, 所以.
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在等式)的两边求导,得:,由求导法则,得,化简得等式:

1)利用上题的想法(或其他方法),结合等式,正整数),证明:

2)对于正整数,求证:

i ii iii

 

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某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

1sin213°+cos217°-sin13°cos17°

2sin215°+cos215°-sin15°cos15°

3sin218°+cos212°-sin18°cos12°

4sin2-18°+cos248°- sin2-18°cos248°

5sin2-25°+cos255°- sin2-25°cos255°

试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数

根据()的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并证明你的结论

 

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观察下列等式:

照此规律, n个等式可为       .

 

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在平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为

 

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已知下列等式:

观察上式的规律,写出第个等式_______

 

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