Question

已知各项均为正数的两个数列和满足：，，

（1）设，，求证：数列是等差数列；

（2）设，，且是等比数列，求和的值．

Answer

（1）见解析

（2）

【解析】

（1）根据题设和，求出，从而证明而得证．

（2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比．

从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列．最后用反证法求出

【解析】
（1）∵，∴．

∴．

∴．

∴数列是以1 为公差的等差数列．

（2）∵，∴．

∴．（﹡）

设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明

若则，∴当时，，与（﹡）矛盾．

若则，∴当时，，与（﹡）矛盾．

∴综上所述，．∴，∴．

又∵，∴是公比是的等比数列．

若，则，于是．

又由即，得．

∴中至少有两项相同，与矛盾．∴．

∴．

∴