Question

已知集合，，，令表示集合所含元素的个数.

（1）写出的值；

（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.

Answer

（1）13

（2）

【解析】

试题（1）根据题意按分类计数：共13个（2）由（1）知，所以当时，的表达式要按除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明

试题解析：（1）．

（2）当时，（）．

下面用数学归纳法证明：

①当时，，结论成立；

②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：

1）若，则，此时有

，结论成立；

2）若，则，此时有

，结论成立；

3）若，则，此时有

，结论成立；

4）若，则，此时有

，结论成立；

5）若，则，此时有

，结论成立；

6）若，则，此时有

，结论成立．

综上所述，结论对满足的自然数均成立．