Question

定义在上的函数满足:①对一切恒有；②对一切恒有；③当时，，且；④若对一切(其中)，不等式恒成立.

(1)求的值；

(2)证明:函数是上的递增函数；

(3)求实数的取值范围.

Answer

（1）4，8（2）证明见解析（3）

【解析】

1）用赋值法令求解.

（2）利用单调性的定义证明，任取，由 ，则有，再由条件当时，

得到结论.

（3）先利用将转化为，再将恒成立，利用函数是上的递增函数，转化为恒成立求解.

（1）令 所以

所以

（2）因为

任取

因为当时，

所以

所以，

所以函数是上的递增函数，

（3）因为

又因为恒成立

且函数是上的递增函数，

所以，(其中)恒成立

所以若对一切(其中)，恒成立.

当 ，即时

所以，

解得

当时，

解得

当，

所以且

解得

综上：实数的取值范围