Question

如图，在三棱柱中，是正三角形，平面，，是边上的一点，且为的平分线．

 

（1）证明：平面；

（2）若在三棱柱中去掉三棱锥后得到的几何体的表面积为，求值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

(1) 连接交于点,连接,再证明即可.

(2)先判断各个面的形状并求解对应的边长关于的表达式,再对各个面的面积求解求和即可.

（1）证明：如图,连接交于点,连接,易知是的中点,

因为是正三角形,且为的平分线,所以是的中点,所以是的中位线,．

因为平面,平面,所以平面．

（2）设剩余的几何体的表面积为,则,．

易证平面平面,因为,所以平面,所以,

可得的面积为,

所以．

因为,所以．