Question

在某批次的某种灯泡中，随机地抽取个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下.根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.

寿命（天）	频数	频率
合计

（1）根据频率分布表中的数据，写出、的值；

（2）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求的最小值；

（3）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用，若以上述频率作为概率，用表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望.

Answer

（1），；（2）；（3）分布列见解析，.

【解析】

（1）根据频数、频率和样本容量之间的关系可得出、的值；

（2）由频率分布表知按分层抽样法，购买灯泡数个，由此能求出的最小值；

（3）的所有取值为、、、，分别求出相对应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.

（1）由题意可得，；

（2）由表可知：灯泡样品中优等品有个，正品有个，次品有个，

优等品、正品和次品的比例为，

按分层抽样法，购买灯泡数为个，

因此，的最小值为；

（3）的所有取值为、、、，

由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为，

从本批次灯泡中购买个，可看成次独立重复试验，则.

，，

，.

所以，随机变量的分布列如下表所示：

因此，随机变量的数学期望为.