Question

如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面为等边三角形且垂直于底面，是的中点.

（1）在棱上取一点使直线∥平面并证明；

（2）在（1）的条件下，当棱上存在一点，使得直线与底面所成角为时，求二面角的余弦值.

Answer

（1）上取中点，证明见详解；（2）

【解析】

（1）找上取中点，由线线平行推证线面平行；

（2）根据线面角的大小找到棱长的等量关系，再根据三垂线定理，找出二面角的平面角，在三角形中求解余弦值即可.

（1）在上取中点，在上取中点，连接，作图如下：

由于平行且等于，平行且等于，

所以平行且等于，

所以四边形是平行四边形，

所以∥.

直线，

，

所以∥平面.

（2）取中点，连接，

由于为正三角形

∴

又∵平面平面，平面平面

∴平面，

连接，四边形为正方形。

∵平面，

∴平面平面

而平面平面

过作，垂足为

∴平面

∴为与平面所成角，

∴

在中，，

∴，

设，，，

∴，

∴

在中，，

∴

∴，，

过点H作HN垂直于CD，垂足为N，连接MN，HN

因为MH平面ABCD,则即为所求二面角的平面角,

在中，因为，HN=FC=，

由勾股定理解得

故

故二面角的余弦值为.