Question

已知椭圆的两个焦点分别是，离心率，为椭圆上任意一点，且的面积最大值为.

（1）求椭圆的方程.

（2）过焦点的直线与圆相切于点，交椭圆于两点，证明：.

Answer

（1）；（2）证明见详解.

【解析】

（1）根据离心率以及面积最大值的状态，求得即可；

（2）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，将问题转化为证明线段中点重合的问题进行处理.

（1）由椭圆性质知，，

，

解得

所以椭圆的方程为

（2）证明：容易知的斜率存在，

故的方程可设为.

因为直线与圆相切，

所以圆心到的距离

，解得.

当时，直线的方程为

由联立，

可得，显然，

设，

则.所以

设，由

不妨取，又，

所以.

由此可得线段中点重合，故.

同理当时，线段中点也重合，故

综上.