Question

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝2，BC＝4，AD＝6，E是AD上的点，AE＝AD，P 为BE的中点，将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，使得A₁C＝4，如图所示.求二面角B­A₁P­D的余弦值．

Answer

－.

【解析】

先确定空间直角坐标系，再求解平面A1PD的法向量，平面A1PB的法向量，再利用向量的夹角公式求解即可.

【解析】
如图，以P为坐标原点，PB所在直线为x轴，PC所在直线为y轴，过P作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A1(－1,0，)，P(0,0,0)，D(－4,2，0)，

∴＝(－1,0，)，＝(－4,2，0)，

设平面A1PD的法向量为＝(x，y，z)，

则即

取x＝，得＝(，2,1)．

易知平面A1PB的一个法向量＝(0,1,0)，

则cos〈，〉＝＝.

由图可知二面角B­A1P­D是钝角，

∴二面角B­A1P­D的余弦值为－.