Question

已知椭圆的离心率为，其左，右焦点分别为，，点P是坐标平面内一点，且，，其中O为坐标原点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点，且斜率为的动直线l交椭圆于A，B两点，求弦AB的垂直平分线在轴上截距的最大值.

Answer

（1）（2）

【解析】

(1)设,根据题意列出对应等式,解方程后即可求得a和b的值,得到椭圆方程;

(2)设出直线l的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理求出中点坐标公式,当直线的斜率存在时,利用直线的点斜式方程,求得AB的垂直平分线方程,令y=0,求得x,再利用基本不等式即可得解.

(1)由题知,,

设,又,

,

,

,从而,,

故椭圆C的方程为;

(2)设直线l的方程为,,,

联立方程:,消去y得:,

显然,

又,,

,

则AB的中点坐标为,

当AB的斜率k为零时,AB的垂直平分线为y轴,横截距为0;

当时,AB垂直平分线的方程为:,

令,

当时,,

当时,,那么,

当且仅当,即时等号成立,

所以当时,弦AB的垂直平分线在x轴上的截距有最大值,为.