Question

已知函数，.

（1）求函数的极值；

（2）若对任意，都有成立，求整数的最小值.

Answer

（1）极大值为（2）

【解析】

(1)设,然后对求导,再结合导数分析其单调性得出极值情况即可;

(2)设,则时都有成立,因此分情况求出的最大值即可得解.

(1)令

则

令,解得;

令,解得,

所以函数在上单调递增,在上单调递减,

故的极大值为,

当时,的极大值为1,无极小值;

(2)设,

则,

①当时,,,,

,故在上单调递增,

而,不满足题意,舍去;

②当时,令,解得

x

0

单调增

极大值

单调减

所以,

令,显然在上单调递减,

,.

故当时,满足题意,故整数m的最小值为2.