Question

如图，边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．

（Ⅰ）求证A'D⊥EF；

（Ⅱ）求三棱锥A'﹣EFD的体积．

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）．

【解析】

(Ⅰ)取EF中点M,再证明EF⊥平面A′DM即可.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,再求解与即可.

（Ⅰ）证明：取EF中点M,连接A′M,DM,

显然,DE＝DF,故DM⊥EF；

显然,A′E＝A′F,则A′M⊥EF,

又A′M∩DM＝M,且都在平面A′DM内,

∴EF⊥平面A′DM,

∵A′D⊂平面A′DM,

∴A′D⊥EF；

（Ⅱ）易知,,

,,,

∴DM2＝A′M2+A′D2,

∴,

∴．