Question

已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在x+y﹣2＝0上，

（Ⅰ）求圆M的方程；

（Ⅱ）设P是直线x+y+2＝0上的动点．PC，PD是圆M的两条切线，C，D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．

Answer

（Ⅰ）（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；（Ⅱ）最小值为4．

【解析】

(Ⅰ)根据圆心在直线AB的垂直平分线l上求解即可.

(Ⅱ)易得四边形PCMD面积为S＝|PC|•r,故转换为求的最小值再转换为求的最小值即可.

（Ⅰ）设圆心M（a,b）,则a+b﹣2＝0①,

又A（1,﹣1）,B（﹣1,1）,

∴kAB,

∴AB的垂直平分线l的斜率k＝1,又AB的中点为O（0,0）,

∴l的方程为y＝x,而直线l与直线x+y﹣2＝0的交点就是圆心M（a,b）,

由,解得：,又r＝|MA|＝2,

∴圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；

（Ⅱ）由切线的性质知：四边形PCMD的面积S＝|PC|•r,

四边形PCMD的面积取最小值时,|PM|最小为圆心M到直线x+y+2＝0的距离,

即,得|PC|min＝2．

∴四边形PCMD面积的最小值为4．