Question

阅读下列有关光线的入射与反射的两个事实现象：现象（1）：光线经平面镜反射满足入射角与反射角相等（如图）；现象（2）；光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点（如图）．试结合，上述事实现象完成下列问题：

（Ⅰ）有一椭圆型台球桌，长轴长为2a，短轴长为2b．将一放置于焦点处的桌球击出．经过球桌边缘的反射（假设球的反射充全符合现象（2）），后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为S，求S的值（用a，b表示）；

（Ⅱ）结论：椭圆上任点P（x₀，y₀）处的切线的方程为．记椭圆C的方程为C：，在直线x＝4上任一点M向椭圆C引切线，切点分别为A，B．求证：直线l_AB恒过定点：

（Ⅲ）过点T（1，0）的直线l（直线l斜率不为0）与椭圆C：交于P、Q两点，是否存在定点S（s，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值，若存在求出S坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）S＝2（a），S＝2（a），S＝4a；（Ⅱ）证明见解析 （Ⅲ）存在，定点S（±3，0）

【解析】

（Ⅰ）根据题意分桌球第一次与球桌的边缘的接触点为长轴的两个端点或这两个端点外的任一点三种情况进行讨论即可.

（Ⅱ）设M（4,t）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,再根据椭圆在点P（x0,y0）处的切线的方程为即可求得两条切线方程的表达式,再根据M（4,t）在两条切线上即可求得lAB

的直线方程.

（Ⅲ）设l的方程为：x＝my+1,再联立直线与椭圆的方程,求得直线SP与SQ斜率之积的表达式,再根据表达式求S（s,0）即可.

（Ⅰ）记c,因为桌球第一次与球桌的边缘的接触点可能是长轴的两个端点及这两个端点外的任一点三种情况,

所以,S＝2（a﹣c）或S＝2（a+c）或S＝4a；

即S＝2（a）,S＝2（a）,S＝4a；

（Ⅱ）设M（4,t）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,则直线lMA：1,lMB：1,代入M中,得lMA：ty1＝1,lMB：2＝1,

则点A,B的坐标满足方程：ty﹣1＝0,

恒过定点G（,0）；

（Ⅲ）由已知直线过点T（1,0）,设l的方程为：x＝my+1,P（x,y）,Q（x',y'）,联立与椭圆的方程整理得：（9+m2）y2+2my﹣8＝0,∴y+y',yy',

kSP,同理得kSQ,∴kSP•kSQ,当s＝3时,kSP•kSQ,

当s＝﹣3时,kSP•kSQ,所以存在定点S（±3,0）,使得直线SP与SQ斜率之积为定值．