Question

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（1），的单调递增区间为；，单调递增区间是，单调递减区间是；，单调递增区间是，单调递减区间是；（2）

【解析】

（1）先求定义域，再求导，对参数进行分类讨论，研究函数单调性，找出单调区间；

（2）利用（1）中结论，将目标问题转化为最值问题，分离参数，求解即可.

（1）函数的定义域为．

．

若，．

所以函数的单调递增区间为；

若，令，

解得，．

当时，，的变化情况如下表

单调递增

极大值

单调递减

函数的单调递增区间是，单调递减区间是；

当时，，的变化情况如下表

单调递增

极大值

单调递减

函数的单调递增区间是，单调递减区间是．

综上所述：，的单调递增区间为；，单调递增区间是，

单调递减区间是；，单调递增区间是，单调递减区间是

（2）由（1）可知，函数在上是单调递增的，

所以，

则在上恒成立．

即在上恒成立．

因为函数在是单调递减的，

所以，．