Question

如图，设F是椭圆C：（）的左焦点，直线：与x轴交于P点，为椭圆的长轴，已知，且，过点P作斜率为直线l与椭圆C相交于不同的两点M、N.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由题意，求得椭圆方程，设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）证明以，即可证明．

（Ⅰ）因为，所以，又因为，

所以，则，，

所以椭圆的标准方程为，

点的坐标为，点的坐标为，

直线的方程为，即，，，，，

联立方程组，可得，

则，，

，

所以；

（Ⅱ）证明：

由，

而，

所以，从而．得证．