Question

设函数，

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）令，当时，证明.

Answer

（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对进行分类讨论，可求函数的单调性；

（Ⅱ）把代入可得，对求导，结合导数与单调性的关系及函数的零点判定定理可求的最大值，结合不等式的恒成立与最值的相互转化关系可证．

（Ⅰ），，

，

当时，，函数在上单调递增，

当时，令可得，

当时，解得，

令可得，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

（Ⅱ），

当时，，

令，则，

所以在上单调递减．

取，，则，（1），

所以函数存在唯一的零点，

即，

所以当，，当，，，

故函数在单调递增，在，单调递减，

所以当时，函数取得极大值，也是最大值，

由可得，

两边同时取对数可得，，

所以，

故，

由基本不等式可得，因为，

所以，

所以，

又因为 即，

所以当时，成立．