Question

如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，（在的上方），且.

（1）求圆的标准方程；

（2）过点作任一条直线与圆：相交于，两点.

①求证：为定值，并求出这个定值；

②求的面积的最大值.

Answer

（1）（2）①；证明见解析②

【解析】

（1）由直线与圆相交，利用勾股定理构建方程求得半径，得答案；

（2）①分类讨论是否存在，当存在时，可联立直线与圆的方程，进而确定的关系，利用斜率k分别表示,，再利用弦长公式表示，作商并化简，得答案；当不存在时，M为特殊位置，直接表示，作商，得答案；

②利用点到直线的距离公式表示点B到的距离，利用弦长公式表示，最后表示所求的面积，借助换元法求得函数的最大值即可.

（1）由题可知点，所以可以设圆心

因为，所以由，解得，所以

所以圆的标准方程为；

（2）①证明：由（1）可得，

当存在时，设

将直线和圆的方程联立：

得——Ⅰ

设，，且，

那么，

所以——Ⅱ

由Ⅰ得，

将其代入Ⅱ化简可得；

当不存在时，显然为或

此时或

则

综上所述：为定值

②由题可知此时必然存在，仍设

则点B到的距离为：

由①可知Ⅰ式：

则

所以

故

令，则

其内部函数开口向上，对称轴为

故当时，.