Question

已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A为锐角，且asin（B+C）是bcosC与ccosB的等差中项．

（1）求角A的大小；

（2）若点D在△ABC的内部，且满足∠CAD＝∠ABD，∠CBD，AD＝1，求CD的长．

Answer

（1）A．（2）．

【解析】

（1）由已知得出条件等式，由正弦定理、两角和正弦公式化简，即可求出；

（2）根据已知条件在中，用余弦定理求出，在中，用正弦定理求出，在中，用余弦定理，求出.

（1）∵asin（B+C）是bcosC与ccosB的等差中项．

∴2asin（B+C）bcosCccosB，

∴可得：2sin2A（sinBcosC+sinCcosB）sin（B+C）sinA，

∵A为锐角，sinA≠0，

∴sinA，可得A．

（2）∵满足∠CAD＝∠ABD，∠CBD，A，AD＝1，

∴∠BAD＝∠ABD，可得AD＝BD＝1，∠ADB，

∴在△ABD中，由余弦定理可得

AB

，

∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC，

可得∠ACB＝π﹣∠BAC﹣∠ABC，

∴△ABC中，由正弦定理，

可得，可得BC，

∴△BDC中，由余弦定理可得：

CD

．