Question

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，.

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成角为45°，求二面角的大小.

Answer

（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）根据题意及几何关系，由线线垂直推证线面垂直即可；

（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法求解即可.

（1）由平面，

平面，平面

得.

又，

平面，平面，

所以平面，

又平面，

所以.

又，∴,

平面,平面

故平面.

（2）由（1）可知，又，

所以.

又平面，所以为在平面内的射影，

故，所以，

由（1）可知，两两垂直，

如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，

所在直线为轴，建立空间直角坐标系.

则

所以

设为平面的法向量，

则即，

可取，

设为平面的法向量，

则，即，

可取，

故

因为二面角为锐二面角，

所以二面角的大小为.