Question

设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，证明恒成立.

Answer

（1）当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）证明见详解.

【解析】

（1）求导，对参数进行分类讨论，进而求得函数的单调区间；

（2）将恒成立问题，转化两个函数最值之间的问题，进而求解.

（1）由题意得，.

①当时，，故函数在区间上单调递增；

②当时，在区间上，，在区间上，，

故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

（2）证明：

要证，只需证.

又，故只需证即可.

设，则，

在区间上，，在区间上，，

故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以.

设，则，

在区间上，，在区间上，，

故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以.

又，所以.

又因为，所以，

所以，

故在上，，

综上，恒成立.