Question

设函数，若过点可作三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

Answer

A

【解析】

f(x)=x3−3x2,则f′(x)=3x2−6x，

设切点为(x0,x30−3x20),则f′(x0)=3x20−6x0.

∴过切点处的切线方程为y−x30+3x20=(3x20−6x0)(x−x0)，

把点(2,n)代入得：n−x30+3x20=(3x20−6x0)(2−x0).

整理得：2x30−9x20+12x0+n=0.

若过点(2,n)可作三条直线与曲线y=f(x)相切,则方程2x30−9x20+12x0+n=0有三个不同根

令g(x)=2x3−9x2+12x，

则g′(x)=6x2−18x+12=6(x−1)(x−2)，

∴当x∈(−∞,1)∪(2,+∞)时,g′(x)>0;当x∈(1,2)时,g′(x)<0，

∴g(x)的单调增区间为(−∞,1),(2,+∞);单调减区间为(1,2).

∴当x=1时,g(x)有极大值为g(1)=5;当x=2时,g(x)有极小值为g(2)=4.

由4<−n<5，得−5