Question

某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．

（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；

（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

Answer

（1）， ；（2）．

【解析】

（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.

【解析】
（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．

过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，

故OE=40cosθ，EC=40sinθ，

则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），

△CDP的面积为×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．

过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．

令∠GOK=θ0，则sinθ0=，θ0∈（0，）．

当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，

所以sinθ的取值范围是[，1）．

答：矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为

1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．

（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），

则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）

=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．

设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），

则．

令，得θ=，

当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；

当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，

因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．

答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．