Question

如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为，半径为，矩形的一边在上，矩形的一边在上，点在圆周上，在直径上，且，设．若每平方米游泳池的造价和休息区造价分别为和.

（1）记游泳池及休息区的总造价为，求的表达式；

（2）为进行投资预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值.

Answer

（1）（2），最大值为

【解析】

（1）用三角函数表示和的长度，进而分别表示游泳池和休息区的面积，由分别的面积乘以单价再相加即可表示总造价；

（2）对（1）中求导并因式分解，令，解得，分析单调性在

上单调递增，在上单调递减，即在时，求得最大值.

（1）由图可知在矩形中，，

所以，.

在矩形中，，

所以，

因为游泳池每平方米的造价为，休息区每平方米造价为

所以，

（2）由（1）得，

，

因为，所以.

令，解得.因为，所以.

列表如下：

0

极大值

所以，当时，总造价取得极大值，即最大值为