Question

如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为（其中）的斜坡前进后到达处，休息后继续行驶到达山顶．

（1）求山的高度；

（2）现山顶处有一塔．从到的登山途中，队员在点处测得塔的视角为．若点处高度为，则为何值时，视角最大？

Answer

（1）；（2）当时，视角最大.

【解析】

（1）解法一：计算出的值，然后在中，过作，垂足为，利用锐角三角函数的定义求出，然后在中利用锐角三角函数可求出；

解法二：过作于点，过作于点，计算出、，设，可得出，，由勾股定理可解出的值，即可得出山高；

（2）过作于，计算出和，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，通过化简后利用基本不等式可求出的最大值，利用等号成立求出的值，即可得出该问题的解答.

（1）法一：因为，是锐角，所以，，

所以，

在中，过作，垂足为.

因为，所以.

在中，，所以山的高度为；

法二：过作于点，过作于点，

在中，，，所以，，

所以，.

设，在直角中，，，

由于，所以

因为，所以，所以山的高度为；

（2）过作于，因为，所以，

因为在上，，所以，

所以，.

所以，.

令，所以，

则.

当且仅当，即时，即时取得最大值.

所以，当时，视角最大.